В безкрайността линиите и квадратите имат еднакъв брой точки

В предишни публикации установихме, че две множества са с еднакъв размер, ако има съответствие едно към едно между елементите на двете множества. Прилагането на този принцип към теорията на Кантор за безкрайността ни води до странното, но валидно заключение, че броят на точките на отсечка е същият като броя на точките в квадрат. За да покажем, че това е вярно, ето снимка на отсечка с единична дължина и единичен квадрат.

Нека изберем точка от отсечката. Да кажем 0,6917381276543… . Показано е с голяма синя точка на сегмента отляво. Ако тази точка съответства на an ирационално число, то продължава вечно, без да се повтаря или показва забележим модел.

Ще разделим това число на две числа. Първото число е всяка друга цифра. Показано в червено под линейния сегмент е това число, а именно 0,6131753… . Останалите цифри образуват второто число, показано в зелено. Това е 0,978264…

Следователно едно число между нула и едно може да бъде разделено на две числа между нула и едно. Можем да вземем тези две числа като координати x и y на единичния квадрат, показан вдясно. Те определят синята точка, показана в квадрата вдясно. Синята точка на отсечката се съпоставя със синята точка в квадрата.

За всяка точка от отсечката има една и само една синя точка в квадрата. Размерът на множествата от безкрайност на отсечка и в квадрат е абсолютно еднакъв. Разширението на този аргумент показва, че броят на точките в куб е същият като броя на точките на отсечка. Това е контраинтуитивно и странно.

Възможно е също обратно картографиране от квадрата към сегмента на линията. Вземете двете координати, определящи синята точка в квадрата, и ги разбъркайте заедно, за да получите едно число. Две числа между нула и едно винаги могат да се комбинират, за да се получи едно число между едно и нула. Това ново число е точката на отсечката.

Тъй като има преобразуване едно към едно на всяка точка от отсечката към всяка точка в квадрата, броят на точките в отсечката е същият като броя на точките в квадрат.

Но не можете ли да начертаете отсечка и квадрат върху лист хартия и да направите картографирането? Не е ли това илюстрация на безкрайността в реалността? Не. Предполага се, че всяка точка е измерена с безкрайна точност. Прецизността в реалността винаги е ограничена. Така че заключението, че в реалността няма безкрайности, е категорично.

Този контраинтуитивен резултат, воден от теорията на Кантор за безкрайностите, е странен. Въпреки това, това е валидно свойство на безкрайното.

Следващия: Ще покажем, че цялата Библиотека на Конгреса е цифрово кодирана на почти всяко произволно избрано число.


Ето част 1: Защо безкрайност не съществува в реалността. Няколко примера ще покажат абсурдните резултати, които идват от предположението, че безкрайността съществува в света около нас, както е в математиката. В поредица от пет публикации обяснявам разликата между това какво означава безкрайността — и какво не означава — като концепция.

и

Част 2. Безкрайността илюстрира, че вселената има начало. Логическите последствия от едно буквално безкрайно минало са абсурдни, както ще покаже една проста илюстрация. Абсурдите, които едно безкрайно минало време би създало, макар и да не са окончателно математическо доказателство, са солидно доказателство, че нашата вселена е имала начало.

Може също да искате да прочетете: Да, можеш манипулирайте безкрайността по математика. Хиперреалните са по-големи (и по-малки) от средното ви число — и по-добри! (Джонатан Бартлет)

!function(f,b,e,v,n,t,s)
{if(f.fbq)return;n=f.fbq=function(){n.callMethod?
n.callMethod.apply(n,arguments):n.queue.push(arguments)};
if(!f._fbq)f._fbq=n;n.push=n;n.loaded=!0;n.version=’2.0′;
n.queue=[];t=b.createElement(e);t.async=!0;
t.src=v;s=b.getElementsByTagName(e)[0];
s.parentNode.insertBefore(t,s)}(window,document,’script’,
‘https://connect.facebook.net/en_US/fbevents.js’);
fbq(‘init’, ‘2456298787745683’);
fbq(‘track’, ‘PageView’, { content_name: ‘in-infinity-lines-and-squares-have-an-equal-number-of-points’, site: ‘mindmatters.ai’ });
fbq(‘track’, ‘ViewContent’, { content_name: ‘in-infinity-lines-and-squares-have-an-equal-number-of-points’, site: ‘mindmatters.ai’ });
jQuery(‘a.subscribe,button.subscribe’).click(function() { fbq(‘track’, ‘Subscribe’, {site: ‘mindmatters.ai’, location: ‘in-infinity-lines-and-squares-have-an-equal-number-of-points’}); });
jQuery(‘a.signup,button.signup’).click(function() { fbq(‘track’, ‘Signup’, {site: ‘mindmatters.ai’, location: ‘in-infinity-lines-and-squares-have-an-equal-number-of-points’}); });
jQuery(‘a.podcast,button.podcast’).click(function() { fbq(‘track’, ‘Podcast’, {site: ‘mindmatters.ai’, location: ‘in-infinity-lines-and-squares-have-an-equal-number-of-points’}); });
jQuery(‘input[type=”submit”]’).click(function() { fbq(‘track’, ‘Submit’, {site: ‘mindmatters.ai’, location: ‘in-infinity-lines-and-squares-have-an-equal-number-of-points’}); });
jQuery(‘.mejs-play button’).click(function() { fbq(‘track’, ‘Play’, {site: ‘mindmatters.ai’, location: ‘in-infinity-lines-and-squares-have-an-equal-number-of-points’}); });

Leave a Comment